Раздел 1.5 Тълкуване, оценка и използване на производната

Мотивиращи въпроси

В контексти, различни от позицията на движещ се обект, какво измерва производната на функция?

използване

Какви са мерните единици на производната функция \ (f '\ text \) и как са свързани с мерните единици на първоначалната функция \ (f \ text \)

Какво е централна разлика и как може да се използва за оценка на стойността на производната в точка от дадени данни за функцията?

Като се има предвид стойността на производната на функция в дадена точка, какво можем да заключим за това как стойността на функцията се променя наблизо?

Мощната характеристика на математиката е, че тя може да се изучава както като абстрактна дисциплина, така и като приложна. Например смятането може да бъде разработено почти изцяло като абстрактна колекция от идеи, които се фокусират върху свойствата на функциите. В същото време, ако разгледаме функции, които представляват значими процеси, смятането може да опише нашия опит с физическата реалност. Вече видяхме, че за функцията за позиция \ (y = s (t) \) на топка, хвърлена право нагоре във въздуха, производната на функцията за позиция, \ (v (t) = s '(t) \ text \) дава скоростта на топката във времето \ (t \ text \)

В този раздел ние изследваме няколко функции със специфичен физически смисъл и обмисляме как единиците от независимата променлива, зависимата променлива и производната функция допринасят за нашето разбиране. За начало разглеждаме познатия проблем за функция на позицията на движещ се обект.

Предварителна активност 1.5.1 .

Един от най-дългите участъци на прав (и равен) път в Северна Америка може да бъде намерен в Големите равнини в щата Северна Дакота на държавна магистрала 46, която се намира южно от междудържавната магистрала I-94 и минава през град Гакъл. Кола напуска града (по време \ (t = 0 \)) и се насочва на изток по магистрала 46; позицията му в мили от Gackle по време \ (t \) в минути се дава от графиката на функцията на фигура 1.5.1. На графиката са обозначени три важни точки; където кривата изглежда линейна, приемете, че тя наистина е права линия.

На всекидневен език опишете поведението на автомобила през предвидения интервал от време. По-специално, обсъдете какво се случва на интервалите от време \ ([57,68] \) и \ ([68,104] \ text \)

Намерете наклона на линията между точките \ ((57,63.8) \) и \ ((104,106.8) \ text \) Какви са мерните единици на този наклон? Какво представлява наклонът?

Намерете средната скорост на промяна на позицията на автомобила на интервала \ ([68,104] \ text \) Включете единици във вашия отговор.

Оценете моментната скорост на промяна на позицията на автомобила в момента \ (t = 80 \ text \) Напишете изречение, за да обясните своите разсъждения и значението на тази стойност.

Подраздел 1.5.1 Единици на производната функция

Както вече знаем, производната на функцията \ (f \) при фиксирана стойност \ (x \) се дава от

и тази стойност има няколко различни интерпретации. Ако зададем \ (x = a \ text \), едно значение на \ (f '(a) \) е наклонът на допирателната линия в точката \ ((a, f (a)) \ text \)

Също така понякога пишем \ (\ frac \) или \ (\ frac \) вместо \ (f '(x) \ text \) и тези алтернативни обозначения ни помагат да видим единиците (и по този начин значението) на производното като моментална скорост на промяна на \ (f \) по отношение на \ (x \). Единиците на наклона на секционната линия, \ (\ frac \ text \) са "единици от \ (y \) на единица \ (x \ text \)" и когато вземем ограничението като \ (h \) отива на нула, производната \ (f '(x) \) има същите единици: единици от \ (y \) на единица \ (x \ text \) Полезно е да запомните, че мерните единици на производната функция са „Изходни единици за единица входящи данни“ за променливите на оригиналната функция.

Да предположим например, че функцията \ (y = P (t) \) измерва населението на даден град (в хиляди) в началото на годината \ (t \) (където \ (t = 0 \) съответства на 2010 г. сл. Хр. ). Казват ни, че \ (P '(2) = 21.37 \ text \) Какво е значението на тази стойност? Е, тъй като \ (P \) се измерва в хиляди и \ (t \) се измерва в години, можем да кажем, че моментната скорост на промяна на населението на града по отношение на времето в началото на 2012 г. е 21,37 хиляди души на човек година. Затова очакваме през следващата година към населението на града да бъдат добавени около 21 370 души.

Подраздел 1.5.2 Към по-точни оценки на производни

Спомнете си, че за да изчислим стойността на \ (f '(x) \) при даден \ (x \ text \), изчисляваме коефициент на разлика \ (\ frac \) с относително малка стойност \ (h \ text \) Трябва да използваме както положителни, така и отрицателни стойности на \ (h \), за да отчетем поведението на функцията от двете страни на интересуващата точка. За тази цел въвеждаме понятието централна разлика и нейната роля при оценката на производни.

Пример 1.5.2 .

Да предположим, че \ (y = f (x) \) е функция, за която са известни три стойности: \ (f (1) = 2.5 \ text \) \ (f (2) = 3.25 \ text \) и \ (f (3) = 3.625 \ text \) Оценка \ (f '(2) \ text \)

Знаем, че \ (f '(2) = \ lim_ \ frac \ text \) Но тъй като нямаме графика или формула за функцията, не можем нито да скицираме допирателна линия, нито да изчислим границата алгебрично. Не можем дори да използваме все по-малки и по-малки стойности на \ (h \), за да изчислим лимита. Вместо това имаме само два варианта: използване на \ (h = -1 \) или \ (h = 1 \ text \) в зависимост от това коя точка се сдвояваме с \ ((2,3,25) \ text \)

И така, една оценка е

Тъй като първото приближение изглежда назад от точката \ ((2,3.25) \), а второто приближение гледа напред, има смисъл да се осреднят тези две оценки, за да се отчете поведението от двете страни на \ (x = 2 \ text \) Правейки това, ние откриваме това

Интуитивният подход за осредняване на двете оценки, намерени в пример 1.5.2, всъщност е най-добрият възможен начин за оценка на производна, когато имаме само две функционални стойности за \ (f \) от противоположните страни на интересуващата точка.

За да разберем защо, мислим за диаграмата на фигура 1.5.3. Вляво виждаме двете секционни линии с наклони, които идват от изчисляването на обратната разлика \ (\ frac = 0.75 \) и от разликата напред \ (\ frac = 0.375 \ text \) Забележете как първият наклон надценява наклонът на допирателната линия при \ ((2, f (2)) \ text \), докато вторият наклон подценява \ (f '(2) \ text \) Вдясно виждаме секционната линия, чийто наклон е даден от централната разлика

Имайте предвид, че тази централна разлика има същата стойност като средната стойност на разликите напред и назад (и е лесно да се обясни защо това винаги важи). Централната разлика дава много добро сближаване със стойността на производната, тъй като дава права по-близо до паралел на допирателната линия.

Стойността на първата производна се дава от

Тази величина измерва наклона на секционната линия до \ (y = f (x) \) през точките \ ((ah, f (ah)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \текст\)

Дейност 1.5.2 .

Картофите се поставят във фурна и температурата на картофа \ (F \) (в градуси по Фаренхайт) в различни моменти от време се взема и записва в следващата таблица. Времето \ (t \) се измерва в минути.

Таблица 1.5.4. Данни за температурата в градуси по Фаренхайт.

\(т\)\ (0 \)\(15\)\ (30 \)\ (45 \)\ (60 \)\ (75 \)\ (90 \)
\ (F (t) \)\ (70 \)\ (180,5 \)\ (251 \)\ (296 \)\ (324,5 \)\ (342,8 \)\ (354,5 \)

Използвайте централна разлика, за да оцените моментната скорост на промяна на температурата на картофите при \ (t = 30 \ text \) Включете единици във вашия отговор.

Използвайте централна разлика, за да оцените моментната скорост на промяна на температурата на картофите при \ (t = 60 \ text \) Включете единици във вашия отговор.

Без да правите изчисления, които очаквате да са по-големи: \ (F '(75) \) или \ (F' (90) \ text \) Защо?

Да предположим, че е дадено, че \ (F (64) = 330.28 \) и \ (F '(64) = 1.341 \ text \) Какви са мерните единици на тези две величини? Каква очаквате температурата на картофите да бъде, когато \ (t = 65 \ text \) когато \ (t = 66 \ text \) Защо?

Напишете няколко внимателни изречения, които описват поведението на температурата на картофите във времевия интервал \ ([0,90] \ text \), както и поведението на моментната скорост на промяна на температурата на картофа върху същия интервал от време.

Дейност 1.5.3 .

Фирма произвежда въже, а общите разходи за производство на \ (r \) фута въже са \ (C (r) \) долара.

Какво означава да се каже, че \ (C (2000) = 800 \ text \)

Какви са мерните единици на \ (C '(r) \ text \)

Да предположим, че \ (C (2000) = 800 \) и \ (C '(2000) = 0,35 \ text \) Оценете \ (C (2100) \ text \) и обосновете своята оценка, като напишете поне едно изречение, което обяснява вашето мислене.

Мислите ли, че \ (C '(2000) \) е по-малко от, равно или по-голямо от \ (C' (3000) \ text \) Защо?

Да предположим, че някой твърди, че \ (C '(5000) = -0,1 \ text \) Какво би ви казало практическото значение на тази производна стойност за приблизителната цена на следващия крак въже? Възможно ли е това? Защо или защо не?

Дейност 1.5.4 .

Изследователи от голяма автомобилна компания са открили функция, която свързва консумацията на бензин с скоростта за определен модел автомобил. По-специално, те са определили, че разходът \ (C \ text \) в литри на километър, при дадена скорост \ (s \ text \) се дава от функция \ (C = f (s) \ text \), където \ (s \) е скоростта на автомобила в километри в час.

Данните, предоставени от автомобилната компания, ни казват, че \ (f (80) = 0,015 \ text \) \ (f (90) = 0,02 \ text \) и \ (f (100) = 0,027 \ text \) Използвайте тази информация, за да изчислете моментната скорост на промяна на разхода на гориво по отношение на скоростта при \ (s = 90 \ text \) Бъдете възможно най-точни, използвайте правилни обозначения и включете единици във вашия отговор.

Като напишете пълно изречение, интерпретирайте значението (в контекста на разхода на гориво) на „\ (f (80) = 0,015 \ text \)“

Напишете поне едно пълно изречение, което интерпретира значението на стойността на \ (f '(90) \), която сте изчислили в (а).

В раздел 1.4 научихме как да използваме графиката на дадена функция \ (f \) за начертаване на графиката на нейната производна, \ (f '\ text \) Важно е да запомним, че когато правим това, мащабът и единиците по вертикалната ос често трябва да се променят, за да представят \ (f '\ text \) Например, да предположим, че \ (P (t) = 400-330e ^ \) ни казва температурата в градуси по Фаренхайт на картоф в фурна по време \ (t \) в минути. На фигура 1.5.5 скицираме графиката на \ (P \) вляво и графиката на \ (P '\) вдясно.

Забележете, че вертикалните скали са различни по размер и различни по единици, тъй като мерните единици на \ (P \) са \ (^ \ circ \) F, докато тези на \ (P '\) са \ (^ \ circ \) F/мин.

Подраздел 1.5.3 Резюме

Производната на дадена функция \ (y = f (x) \) измерва моментната скорост на промяна на изходната променлива по отношение на входната променлива.

Единиците на производната функция \ (y = f '(x) \) са единици от \ (y \) на единица \ (x \ text \) Отново, това измерва колко бързо изходът на функцията \ (f \ ) се променя при промяна на входа на функцията.

Приближението на централната разлика към стойността на първата производна се дава от

Тази величина измерва наклона на секционната линия до \ (y = f (x) \) през точките \ ((ah, f (ah)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text \) Централната разлика генерира добро сближаване на стойността на производната.

Упражнения 1.5.4 Упражнения

1. Охлаждаща чаша кафе.
2. Функция на разходите.
3. Теглото като функция от калориите.
4. Изместване и скорост.

Температурата на чаша кафе е \ (F \) (в градуси по Фаренхайт) в момент \ (t \), зададен от функцията \ (F (t) = 75 + 110 e ^ \ text \), където времето се измерва в минути.

Използвайте централна разлика с \ (h = 0,01 \), за да оцените стойността на \ (F '(10) \ text \)

Какви са мерните единици върху стойността на \ (F '(10) \), която сте изчислили в (а)? Какво е практическото значение на стойността на \ (F '(10) \ text \)

Кое очаквате да бъде по-голямо: \ (F '(10) \) или \ (F' (20) \ text \) Защо?

Напишете изречение, което описва поведението на функцията \ (y = F '(t) \) на времевия интервал \ (0 \ le t \ le 30 \ text \) Как мислите, че ще изглежда нейната графика? Защо?

Температурната промяна \ (T \) (в градуси по Фаренхайт), при пациент, която се генерира от доза \ (q \) (в милилитри), от лекарството, се дава от функцията \ (T = f (q )\текст\)

Какво означава да се каже \ (f (50) = 0.75 \ text \) Напишете пълно изречение, за да обясните, като използвате правилни единици.

Чувствителността на човек, \ (s \ text \) към лекарството се определя от функцията \ (s (q) = f '(q) \ text \) Какви са мерните единици за чувствителност?

Да предположим, че \ (f '(50) = -0.02 \ text \) Напишете пълно изречение, за да обясните значението на тази стойност. Включете във вашия отговор информацията, дадена в (а).

Скоростта на топката, която е хвърлена вертикално във въздуха, се определя от \ (v (t) = 16 - 32t \ text \), където \ (v \) се измерва във футове в секунда, а \ (t \) е измерено в секунди. Топката е във въздуха от \ (t = 0 \) до \ (t = 2 \ text \)

Кога е най-голяма скоростта на топката?

Определете стойността на \ (v '(1) \ text \) Обосновете своето мислене.

Какви са мерните единици на стойността на \ (v '(1) \ text \) Какво означава тази стойност и съответните единици за поведението на топката по време \ (t = 1 \ text \)

Какво е физическото значение на функцията \ (v '(t) \ text \)

Стойността, \ (V \ text \) на даден автомобил (в долари) зависи от броя на мили, \ (m \ text \) колата е била управлявана, в съответствие с функцията \ (V = h (m) \текст\)

Да предположим, че \ (h (40000) = 15500 \) и \ (h (55000) = 13200 \ text \) Каква е средната скорост на промяна на \ (h \) на интервала \ ([40000,55000] \ text \) и какви са мерните единици на тази стойност?

В допълнение към информацията, дадена в (а), кажете, че \ (h (70000) = 11100 \ text \) Определете възможно най-добрата оценка на \ (h '(55000) \) и напишете едно изречение, за да обясните значението на вашия резултат, включително единици за вашия отговор.

Коя стойност очаквате да бъде по-голяма: \ (h '(30000) \) или \ (h' (80000) \ text \) Защо?

Напишете изречение, за да опишете дългосрочното поведение на функцията \ (V = h (m) \ text \) плюс още едно изречение, за да опишете дългосрочното поведение на \ (h '(m) \ text \). на практика по отношение на стойността на автомобила и скоростта, с която тази стойност се променя.