Възраст от 5 до 11

Публикувано през ноември 2013 г.

изследване

Въведение
В NRICH нашата цел е да предложим богати задачи, които развиват задълбочено разбиране на математическите понятия. Разбира се, по своята същност богатите задачи също така ще предоставят възможност на децата да работят като математик и така ще им помогнат да развият своите умения за решаване на проблеми заедно с това концептуално разбиране. Такива задачи също така предоставят ценни възможности за вас да прецените докъде са стигнали децата в своето мислене и така подкрепят следващите стъпки в тяхното учебно пътешествие.

Настоящата национална учебна програма в Англия, която стана законоустановена през септември 2014 г., съдържа повече съдържание, свързано с фракции, отколкото предишната учебна програма. За да подпомогнете децата да се справят с концепцията за фракциите, е важно да се уверите, че имат много практически и разнообразни преживявания при използване на предмети, форми и количества. Това, съчетано с опит от богати задачи, които стимулират и предизвикват тяхното мислене; възможността да говорят и възможността да се използват модели и изображения, а не „трикове“, ще подкрепят нарастващото им разбиране за фракциите.


Защо на децата може да им е трудно да разбиват фракциите?
Трудностите с фракциите често произтичат от факта, че те се различават от естествените числа по това, че са относителни, а не фиксирани количества - една и съща фракция може да се отнася до различни количества и различни фракции могат да бъдат еквивалентни (Nunes, 2006). Бихте ли предпочели една четвърт от £ 20 или половината от £ 5? Фактът, че половината е по-голямата част, не означава непременно, че сумата, с която се озовавате, ще бъде по-голяма. Въпросът винаги трябва да бъде „част от какво?“; „какво е цялото?“. Фракциите могат да се отнасят до обекти, количества или форми, като по този начин разширяват сложността им.

За да могат да развият разбирането си и след това да обобщят фракциите, децата трябва да изследват много представяния и употреби за значителен период от време. В ранните години обучаемите ще се научат да обобщават концепцията за три, като имат много опит на три-трите от три, но с части, които можем да открием в училище, техният опит е ограничен до пици, лепкава хартия и шоколад! Дали децата имат опит с предмети, форми и количества в еднаква степен и имат ли опит като цяло нещо различно от „едно“?

В нашата функция за фракции, част от която е тази статия, ние предлагаме връзки към две групи задачи:

  • Първата група ви дава някои отправни точки, които да изследвате с вашия клас, които са приложими за широк диапазон от възрасти. Задачите в тази първа група ще надграждат сегашното разбиране на децата за фракциите и ще им помогнат да се справят с концепцията за връзката частично цяло.
  • Втората група задачи се фокусира върху прогресирането на идеите, свързани с фракциите, чрез обектив за решаване на проблеми. И така, задачите от тази втора група са свързани с учебната програма, но също така от решаващо значение предлагат на учениците възможности да развият своите умения за решаване на проблеми и разсъждения.
В тази статия ще обсъдим всяка група задачи на свой ред, като посочим допълнителни причини за групирането по този начин и ще обясним защо е избрана всяка конкретна задача.


Първа група задачи - Изходни точки
Както бе споменато по-горе, всички тези задачи могат да бъдат представени на деца на всяка възраст. Те дават възможност за смислена математическа дискусия и споделяне на текущото разбиране, в допълнение към това, че предлагат възможности за оспорване на погрешни схващания. Важно е децата да изградят речник, с който да говорят за дроби. Разбира се, това е постепенен процес, но много подпомогнат от вас, когато моделирате подходящ език, когато е възможно, и насочвате вниманието към доброто използване на специфичен речник от самите деца. Всички следващи задачи предоставят контекст, в който да насърчават учащите да говорят за своите идеи и да работят за усъвършенстване на речника си. (Статията Развиване на култура в класната стая, която подкрепя подход за решаване на проблеми по математика, предлага няколко практически идеи, които да помогнат на вашата класна стая да се превърне в класна стая, базирана на беседи.)

Половината хартия е чудесно богата задача, която се нуждае само от изобилие от обикновена хартия А4. Учещите се приканват да намалят наполовина листчета по различни начини и да формулират как знаят, че са създали половинки. Разговорът е ключов тук. Ако помолите децата да обяснят своите идеи, това ще помогне да се разкрие тяхното разбиране, дори ако техните конструкции не са съвсем точни. Можете да улесните дискусията за това, че не всички половинки са симетрични, а също така би било полезно да попитате как учащите смятат, че задачата би била засегната, ако им беше дадена квадратна хартия, а не обикновена.

Какво виждате тук? надгражда върху половината хартия, като разполага с редица размери хартия заедно със свързаните с тях половинки. По подобен начин на разделянето на хартия, тази дейност насърчава учащите да изследват фракциите като област. Децата са поканени да „казват това, което виждат“, за да подтикнат дискусия, свързана с изказвания за документа. Тук ролята на учителя е да извади идеята, че „половинките“ са с различни размери („Ще имам по-голямата половина!“), Тъй като идеята за половинката е безсмислена, без да се знае цялото. По този начин задачата поставя основите за дълбоко разбиране на отношенията частично цяло.

(В нашата статия за ранното развитие на фракциите, която също е част от първата група ресурси в тази функция, Бернард Банял описва своя опит с използването на тези две задачи и други, много пъти с групи деца и предлага допълнителни идеи с помощта на хартия.)

И колко често варираме „цялото“? Винаги ли е „един“? Ами споделянето на две пици между три? В задачата NRICH Chocolate „цялото“ е едно, две или три шоколадови блокчета. Учащите трябва да вземат решение за най-добрата маса, на която да застанат, ако шоколадът на нея е споделен между всички на тази маса. Насърчаването на децата да записват своите идеи ни помага да „видим“ тяхното мислене и да преценим какво правят.

Дроби като форма на разделяне
В своето изследване Nunes (2006) предполага, че споделянето на ситуации може да се използва и като отправна точка за разбирането на децата от фракциите, тъй като тя установява, че децата от началното училище имат някакво прозрение за фракциите при решаване на проблеми с разделението:

Нашата ранна година Фондация Сценична дейност Maths Story Time представя Pirate Panda, който е откраднал цялото съкровище, но котката, кучето и заекът също искат. Какво мислят децата да правят? По подобен начин дейността Fair Feast предлага контекста на споделяне на пикник и би могла да лежи в основата на първоначална изследователска задача. Можете също така да поканите учащите да обмислят други видове храни - могат ли да изберат нещо, което биха искали да донесат на пикника, и да обяснят как това може да бъде споделено?

В обобщение, задачите, които съставляват първата група в рамките на нашата функция Fractions Unpacked…

  • са приложими за диапазон от възрасти;
  • осигуряват контексти, в които да изследват задълбочено взаимоотношенията частично цяло;
  • предлагат възможности за развиване на концептуално разбиране чрез разговор.

Втора група задачи - прогресия във фракциите чрез решаване на проблеми
Втората група задачи в нашата фракция Unpacked Feature е избрана, за да отразява прогресията в концепциите, свързани с фракциите, като същевременно дава възможност на учащите да развият своите умения за решаване на проблеми и разсъждения.

Умението да разпознавате, намирате и назовавате „половинка“ често е една от първите стъпки по пътя на фракциите и задачите, включени по-горе в първата група, ще бъдат полезни в това отношение. Също така си струва да се спомене дейността Halving, която се фокусира върху наполовина в контекста на площта (на квадратите). A Bowl of Fruit обаче изследва наполовина в контекста на дискретни обекти и лесно можете да промените задачата да създаде подобни проблеми, като се фокусирате върху малко по-предизвикателното съдържание на учебната програма, като използвате езика на половинките, четвъртинките и/или третините.

Идеята за еквивалентност е ключова, която трябва да се въведе при развитието на разбирането на децата за фракциите. Не само учащите се насърчават да намират семейства от дроби, които са еквивалентни, но и да разпознават десетични еквиваленти на дроби. Умението да закръглявате десетични знаци до най-близкото цяло число е умение, което често се преподава по това време, а двете задачи Round Dice Decimals 1 и Round the Dice Decimals 2 предлагат смислена практика. Тези две изследователски задачи дават възможност на учащите да изследват сами, да предполагат и обобщават, което означава, че не само децата ще се подобряват при закръгляването, но и ще развиват своите умения за разсъждение.

В спиралните десетични знаци учащите трябва да сравняват десетичните числа и контекстът на играта може да осигури мотивация за някои. Опитът да победи противник изисква по-високо ниво на мислене по отношение на разработването на стратегия. Когато решават кой номер да изберат за даден ход, учениците ще извършат множество сравнения и ще изберат този, който смятат за най-добър за този ход. Искането на двойка да играе друга двойка в тази игра означава, че партньорите могат да говорят помежду си за тяхното мислене, което ще помогне да се изяснят техните идеи. (За разлика от индивид, който играе състезателно срещу друг индивид, когато нито един от тях не иска да раздаде стратегията си!)

Дейностите "Свързани вериги и дължини на дроби" предлагат възможности за идентифициране, назоваване и записване на еквивалентни дроби, както и за добавяне на дроби. Дължините на дроби са малко по-предизвикателни, тъй като знаменателите не винаги са кратни на един и същ брой. И двете задачи имат множество решения, така че децата се насърчават да използват различни умения за решаване на проблеми, като проби и подобрения, и да работят систематично.

Ако искате да се съсредоточите върху подкрепата на децата да обмислят как да се справят с решаването на проблем, Andy’s Marbles може да се побере в сметката. Задачата включва използването на фракции за изчисляване и разделяне на количествата и със сигурност не е лесно. Нивото на предизвикателство, което предоставя, означава, че се поддава конкретно на един или повече от четирите етапа на процеса за решаване на проблеми (вижте статията Развиване на върхови постижения в решаването на проблеми с младите учащи).

Що се отнася до изчисляването на фракциите, опасността е да въведем правила, които да бъдат запомнени и изведнъж концептуалното развитие изглежда вече не се оценява. В статията „Модели в ума“ обаче Майк Аскеу демонстрира, че масивът е мощен инструмент за мислене за умножаване на дроби, като дава на децата визуален образ, върху който да рисуват, вместо да разчита на „трикове“. Той започва с масив като този, представляващ 13 х 4:

Чрез разделянето на 13 на 10 и 3 можем да използваме известни факти, за да разрешим това умножение:

13 x 4 = (10 x 4) + (3 x 4)

Разбира се, с увеличаването на числата става скучно да изчертавате всички точки, така че насърчаваме децата да използват празен масив. Например, 15 x 4 могат да бъдат представени като:

Това води до мрежовия метод за умножение. Ето изображение, показващо и метода на масив и мрежа за решаване на 14 x 4:

След това можем да видим как следва умножението на дроби. Например, за да изчислим $ \ frac \ times \ frac $, бихме започнали с масив, разделен на трети по един начин и пети по другия начин:

Учащите, които са помислили за умножение по отношение на масиви, ще се чувстват удобно да мислят за необходимата част като част от масива, маркирана от пресечната точка на $ \ frac $ и $ \ frac $:

Статията си заслужава да бъде прочетена и ни напомня, че „белегът на добрия модел за/инструмент за мислене е, че може да помогне на учащите да получат представа за математическата структура, а не просто да получат правилни отговори“.


Обобщение
Концепцията за фракциите е сложна и отнема време, съчетано с богат набор от преживявания и подходящи математически модели, за да развият децата дълбоко и строго разбиране. Може да искате да изпробвате някои от ресурсите, които сме препоръчали в тази статия, за да видите как те могат да подпомогнат развитието на разбирането на децата за фракциите. Можете също така да погледнете каква е „фракционната диета“ на децата в цялото училище и как тя може да бъде полезно укрепена, за да се увеличат възможностите на децата да развият смислено и задълбочено разбиране на фракциите.