В предишния раздел беше демонстрирано, че процентът на отказите на проста паралелна система нараства с възрастта според закона на Weibull. Този модел анализира първоначално идеални структури, при които всички елементи са функционални от самото начало. Това стандартно предположение може да бъде оправдано за технически устройства, произведени от предварително тествани компоненти, но не е оправдано за живи организми, пълни с първоначални дефекти (вж. Гаврилов и Гаврилова, 1991; 2001; 2004b; 2005).

силно

Следвайки традицията на теорията за надеждност, ние започваме нашия анализ с надеждност на отделна система (или хомогенна съвкупност). Този модел на последователно-паралелна структура с разпределена излишък е предложен от Гаврилов и Гаврилова през 1991 г. и описан по-подробно през 2001 г.

Помислете първо за последователно паралелен модел, в който първоначално функционалните елементи се срещат много рядко с ниска вероятност q, така че разпределението на подсистемите (блоковете) на организма според първоначално функциониращите елементи, които те съдържат, е описано от закона на Поасон с параметър l = nq . Параметър l съответства на средния брой първоначално функционални елементи в блок.

Както вече беше отбелязано, степента на повреда на система, изградена от m блокове, свързани последователно, е равна на сумата от степента на повреда на тези блокове, Tb (Barlow et al., 1965):

където Pi е вероятността блок да има i първоначално функциониращи елементи. Параметър С е нормализиращ фактор, който осигурява сумата от вероятностите на всички възможни резултати да бъде равна на единица (вж. Гаврилов, Гаврилова, 1991; 2001). За достатъчно високи стойности на n и l нормализиращият фактор се оказва едва ли по-голям от единица.

Използвайки формулата за степента на откази на блок от паралелно свързани елементи (вижте най-простия модел за надеждност на стареещия раздел), получаваме крайния израз за последователно паралелната система с разпределена излишък:

Ts = ixImCe-1 ^ ^ T ^ T ^ R ^ ™ - £ (x)) ^ Reax

където R = CmX ^ e-1, a = It fi (x) е близо до нула за големи n и малки x (начален период от живота; вж. Гаврилов, Гаврилова, 1991, 2001 за повече подробности).

В ранния период на живот (когато x ^ 1/t) кинетиката на смъртността на тази система следва експоненциалния закон на Гомперциан.

В късния период на живот (когато x ^ 1/t) нивото на неуспех се намалява и се наблюдава плато на смъртността:

Ако независимо от възрастта смъртност (A) също съществува в допълнение към функцията на Gompertz, ние получаваме добре познатия закон на Gompertz-Makeham, описан по-рано. В напреднала възраст смъртността се забавя и се приближава асимптотично до горна граница, равна на m ^.

Моделът обяснява не само експоненциалното нарастване на смъртността с възрастта и последващото изравняване, но и закона за компенсацията на смъртността:

ln (R) = ln (Cma) - a = ln (M) - Ba, където M = Cma, B = 1/t.

Според този модел законът за компенсацията е неизбежен, когато разликите в смъртността възникват от разликите в параметъра l (средният брой първоначално функционални елементи в блока), докато „истинската скорост на стареене“ (степента на загуба на елементите, t) е сходен в различните популации на даден вид (вероятно поради хомеостазата). В този случай специфичната за вида продължителност на живота, изчислена от закона за компенсациите като очаквана възраст при сближаване на смъртността (95 години за хората, виж Гаврилов и Гаврилова, 1991), характеризира средния живот на елементите (1/t).

Моделът също така предсказва определени отклонения от точното сближаване на смъртността в определена посока, тъй като параметърът M се оказа функция на параметъра a според този модел (виж по-рано). Тази прогноза може да бъде тествана в бъдещи проучвания.

От този модел следва също така, че дори малък напредък в оптимизирането на процесите на онтогенеза и увеличаването на броя на първоначално функционалните елементи (l) може потенциално да доведе до забележителен спад в смъртността и значително подобрение на продължителността на живота.